التصنيف: شرح الدروس

  • حل المعادلات التربيعية بالتحليل والقانون العام مع أمثلة محلولة – رياضيات أول ثانوي

    المعادلة التربيعية من أهم موضوعات رياضيات المرحلة الثانوية، وتظهر كثيراً في الاختبارات وفي التطبيقات الهندسية والفيزيائية. في هذا الشرح نراجع الصورة العامة للمعادلة، وثلاث طرق لحلها، ودور المميز في معرفة عدد الحلول، ثم نحل خمسة أمثلة مع التحقق من كل إجابة.

    محتويات الدرس

    1. فكرة الدرس
    2. حل الأسئلة خطوة بخطوة
    3. السؤال 1: الحل بالتحليل
    4. السؤال 2: الحل بالجذر التربيعي
    5. السؤال 3: الحل بالقانون العام
    6. السؤال 4: مميز سالب
    7. السؤال 5: مسألة المستطيل
    8. نصائح للمذاكرة
    9. أسئلة شائعة
    10. المصدر الرسمي

    فكرة الدرس: ما المعادلة التربيعية؟

    المعادلة التربيعية هي معادلة يمكن كتابتها على الصورة ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0. وحل المعادلة يعني إيجاد قيم x التي تجعل الطرفين متساويين.

    • التحليل: نكتب المعادلة على صورة حاصل ضرب عاملين يساوي صفراً، ثم نساوي كل عامل بالصفر.
    • الجذر التربيعي: مناسب عندما لا يوجد حد bx، مثل x² = 9.
    • القانون العام: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a ويصلح لكل معادلة تربيعية.
    • المميز: Δ = b² − 4ac؛ إذا كان موجباً فللمعادلة حلان حقيقيان، وإذا كان صفراً فلها حل واحد مكرر، وإذا كان سالباً فلا توجد حلول حقيقية.

    حل الأسئلة خطوة بخطوة

    الأسئلة التالية تمارين تدريبية من إعداد كتبي بلس على فكرة الدرس، وليست منسوخة من الكتاب المدرسي. حاول حل كل سؤال بنفسك قبل قراءة الخطوات.

    السؤال 1: الحل بالتحليل

    حل المعادلة: x² − 5x + 6 = 0.

    1. نبحث عن عددين حاصل ضربهما 6 ومجموعهما −5: هما −2 و −3.
    2. نحلل: (x − 2)(x − 3) = 0.
    3. نساوي كل عامل بالصفر: x = 2 أو x = 3.
    4. التحقق: 2² − 5(2) + 6 = 0 و 3² − 5(3) + 6 = 0.

    الإجابة: x = 2 أو x = 3

    السؤال 2: الحل بالجذر التربيعي

    حل المعادلة: x² − 9 = 0.

    1. ننقل الحد الثابت: x² = 9.
    2. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين مع مراعاة الإشارتين: x = ±3.

    الإجابة: x = 3 أو x = −3

    السؤال 3: الحل بالقانون العام

    حل المعادلة: 2x² + 3x − 2 = 0.

    1. نحدد المعاملات: a = 2, b = 3, c = −2.
    2. المميز: Δ = 3² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25، و √25 = 5.
    3. نعوض: x = (−3 + 5) / 4 = 1/2 أو x = (−3 − 5) / 4 = −2.
    4. التحقق: 2(1/4) + 3(1/2) − 2 = 0 و 2(4) − 6 − 2 = 0.

    الإجابة: x = 1/2 أو x = −2

    السؤال 4: مميز سالب

    كم حلاً حقيقياً للمعادلة x² + 4x + 5 = 0؟

    1. المعاملات: a = 1, b = 4, c = 5.
    2. المميز: Δ = 16 − 20 = −4.
    3. بما أن المميز سالب، فلا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب.

    الإجابة: لا توجد حلول حقيقية للمعادلة.

    السؤال 5: مسألة المستطيل

    مستطيل مساحته 24 cm²، وطوله يزيد على عرضه بمقدار 2 cm. أوجد بعديه.

    1. نفرض العرض w، فيكون الطول w + 2.
    2. المساحة: w(w + 2) = 24، أي w² + 2w − 24 = 0.
    3. نحلل: (w + 6)(w − 4) = 0، فإما w = −6 (مرفوض لأن الطول لا يكون سالباً) أو w = 4.
    4. الطول = 4 + 2 = 6، والتحقق: 4 × 6 = 24.

    الإجابة: العرض 4 cm والطول 6 cm.

    💡 نصائح للمذاكرة

    • رتّب المعادلة دائماً على الصورة … = 0 قبل أي طريقة حل.
    • احسب المميز أولاً؛ فهو يخبرك بعدد الحلول قبل أن تبدأ.
    • انتبه للإشارات عندما يكون b أو c سالباً، واكتبهما بين قوسين عند التعويض.
    • تحقق من كل حل بالتعويض في المعادلة الأصلية، وارفض الحلول غير المنطقية في المسائل الحياتية.

    أسئلة شائعة حول الدرس

    متى أستخدم التحليل ومتى أستخدم القانون العام؟

    جرّب التحليل أولاً إذا كانت المعاملات أعداداً صغيرة وسهلة، واستخدم القانون العام عندما يصعب التحليل، فهو يصلح لكل المعادلات التربيعية.

    هل يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية حل واحد فقط؟

    نعم، عندما يكون المميز صفراً، مثل x² − 6x + 9 = 0 التي تكتب (x − 3)² = 0 وحلها x = 3.

    ماذا يعني أن المميز سالب؟

    يعني أن المعادلة ليس لها حلول في الأعداد الحقيقية، وبيانياً لا يقطع منحنى الدالة محور السينات.

    المصدر الرسمي

    ارجع إلى الدرس نفسه في كتابك المدرسي المعتمد للطبعة الحالية، ويمكنك الاطلاع على الكتب الرسمية عبر منصة عين التابعة لوزارة التعليم. كتبي بلس منصة مستقلة غير تابعة لوزارة التعليم.

    روابط ذات صلة

  • شرح الكسور المتكافئة وتبسيط الكسور مع تمارين محلولة – رياضيات خامس ابتدائي

    في هذا الدرس يتعلم طالب الصف الخامس الابتدائي كيف يكتب كسوراً مختلفة في الشكل لكنها متساوية في القيمة، وكيف يكتب الكسر في أبسط صورة. هذه المهارة أساس جمع الكسور وطرحها والمقارنة بينها، لذلك نشرحها هنا بالرسم والأمثلة ثم نحل خمسة تمارين خطوة بخطوة.

    محتويات الدرس

    1. فكرة الدرس
    2. حل الأسئلة خطوة بخطوة
    3. السؤال 1: كسران مكافئان لـ 2/3
    4. السؤال 2: هل 3/4 و 9/12 متكافئان؟
    5. السؤال 3: تبسيط 12/18
    6. السؤال 4: العدد المفقود
    7. السؤال 5: مسألة الفطيرة
    8. نصائح للمذاكرة
    9. أسئلة شائعة
    10. المصدر الرسمي

    فكرة الدرس: ما الكسور المتكافئة؟

    الكسور المتكافئة هي كسور تمثل الجزء نفسه من الكل. تخيّل فطيرة قسمناها إلى جزأين متساويين وأخذنا جزءاً واحداً، أي 1/2. لو قسمنا الفطيرة نفسها إلى 4 أجزاء وأخذنا جزأين لحصلنا على الكمية نفسها، أي 2/4، ولو قسمناها إلى 8 أجزاء وأخذنا 4 لحصلنا على 4/8. إذن: 1/2 = 2/4 = 4/8.

    • لإيجاد كسر مكافئ: اضرب البسط والمقام في العدد نفسه (غير الصفر)، أو اقسمهما على العدد نفسه.
    • أبسط صورة للكسر: هي الصورة التي لا يوجد فيها عامل مشترك بين البسط والمقام غير العدد 1.
    • للتبسيط: اقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما.
    • للتحقق من التكافؤ: استخدم الضرب التبادلي؛ إذا تساوى الناتجان فالكسران متكافئان.

    حل الأسئلة خطوة بخطوة

    الأسئلة التالية تمارين تدريبية من إعداد كتبي بلس على فكرة الدرس، وليست منسوخة من الكتاب المدرسي. حاول حل كل سؤال بنفسك قبل قراءة الخطوات.

    السؤال 1: كسران مكافئان لـ 2/3

    اكتب كسرين مكافئين للكسر 2/3.

    1. نضرب البسط والمقام في 2: (2 × 2) / (3 × 2) = 4/6.
    2. نضرب البسط والمقام في 3: (2 × 3) / (3 × 3) = 6/9.

    الإجابة: 4/6 و 6/9 (وتوجد إجابات صحيحة أخرى مثل 8/12).

    السؤال 2: هل 3/4 و 9/12 متكافئان؟

    هل الكسران 3/4 و 9/12 متكافئان؟ وضّح.

    1. نلاحظ أن 3 × 3 = 9 وأن 4 × 3 = 12، أي أننا ضربنا البسط والمقام في العدد نفسه.
    2. نتحقق بالضرب التبادلي: 3 × 12 = 36 و 4 × 9 = 36، والناتجان متساويان.

    الإجابة: نعم، الكسران متكافئان.

    السؤال 3: تبسيط 12/18

    اكتب الكسر 12/18 في أبسط صورة.

    1. عوامل 12 هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12.
    2. عوامل 18 هي: 1، 2، 3، 6، 9، 18.
    3. القاسم المشترك الأكبر هو 6.
    4. نقسم البسط والمقام على 6: 12 ÷ 6 = 2 و 18 ÷ 6 = 3.

    الإجابة: 2/3

    السؤال 4: العدد المفقود

    أوجد العدد المفقود: 5/8 = ? / 24.

    1. نسأل: في أي عدد ضُرب المقام 8 ليصبح 24؟ 8 × 3 = 24.
    2. نضرب البسط في العدد نفسه: 5 × 3 = 15.

    الإجابة: العدد المفقود هو 15، أي 5/8 = 15/24.

    السؤال 5: مسألة الفطيرة

    أكلت سارة 4/10 من فطيرة، وأكل أخوها 2/5 من فطيرة مماثلة. أيهما أكل أكثر؟

    1. نكتب 2/5 بمقام 10: (2 × 2) / (5 × 2) = 4/10.
    2. نقارن: 4/10 و 4/10 متساويان.

    الإجابة: أكلا الكمية نفسها.

    💡 نصائح للمذاكرة

    • ارسم الكسر بدائرة أو مستطيل مقسم قبل الحساب، فالرسم يوضح التكافؤ.
    • تذكر أن ضرب البسط والمقام في العدد نفسه يعني الضرب في 1، لذلك لا تتغير قيمة الكسر.
    • عند التبسيط اكتب عوامل العددين في سطرين متقابلين لتجد القاسم المشترك الأكبر بسرعة.
    • لا تضرب البسط وحده أو المقام وحده، لأن ذلك يغير قيمة الكسر.

    أسئلة شائعة حول الدرس

    ما الفرق بين الكسور المتكافئة والكسور المتساوية؟

    هما بمعنى واحد: كسور مختلفة في الشكل لها القيمة نفسها.

    كيف أعرف أن الكسر في أبسط صورة؟

    عندما يكون القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام هو 1، مثل 2/3 و 5/8.

    هل يمكن أن يكون للكسر أكثر من كسر مكافئ؟

    نعم، لكل كسر عدد لا نهائي من الكسور المكافئة، لأنك تستطيع الضرب في أي عدد غير الصفر.

    المصدر الرسمي

    ارجع إلى الدرس نفسه في كتابك المدرسي المعتمد للطبعة الحالية، ويمكنك الاطلاع على الكتب الرسمية عبر منصة عين التابعة لوزارة التعليم. كتبي بلس منصة مستقلة غير تابعة لوزارة التعليم.

    روابط ذات صلة

  • شرح الكثافة وطريقة حسابها مع أمثلة محلولة – علوم أول متوسط

    لماذا تطفو قطعة الخشب على الماء بينما تغوص قطعة حديد صغيرة؟ الإجابة في مفهوم الكثافة. في هذا الشرح نتعرف على معنى الكثافة وقانونها ووحداتها، ثم نحل خمسة أمثلة متدرجة تشمل حساب الكتلة والحجم وطريقة الإزاحة.

    محتويات الدرس

    1. فكرة الدرس
    2. حل الأسئلة خطوة بخطوة
    3. السؤال 1: حساب الكثافة
    4. السؤال 2: يطفو أم يغوص؟
    5. السؤال 3: حساب الكتلة
    6. السؤال 4: طريقة الإزاحة
    7. السؤال 5: سائل فوق الماء
    8. نصائح للمذاكرة
    9. أسئلة شائعة
    10. المصدر الرسمي

    فكرة الدرس: ما الكثافة؟

    الكثافة هي مقدار الكتلة الموجودة في وحدة الحجم من المادة. فإذا كان لدينا جسمان لهما الحجم نفسه، فإن الجسم الأثقل هو الأكبر كثافة.

    • القانون: الكثافة = الكتلة ÷ الحجم، أي ρ = m / V.
    • الوحدات الشائعة: g/cm³ للمواد الصلبة، و g/mL للسوائل، علماً بأن 1 mL = 1 cm³.
    • كثافة الماء: تساوي تقريباً 1 g/cm³.
    • الطفو: الجسم الذي كثافته أقل من كثافة السائل يطفو عليه، والأكبر كثافة يغوص.
    • كثافة المادة ثابتة عند الظروف نفسها مهما كان حجم القطعة.

    حل الأسئلة خطوة بخطوة

    الأسئلة التالية تمارين تدريبية من إعداد كتبي بلس على فكرة الدرس، وليست منسوخة من الكتاب المدرسي. حاول حل كل سؤال بنفسك قبل قراءة الخطوات.

    السؤال 1: حساب الكثافة

    جسم كتلته 200 g وحجمه 50 cm³. احسب كثافته.

    1. المعطيات: m = 200 g و V = 50 cm³.
    2. القانون: ρ = m / V.
    3. التعويض: ρ = 200 / 50 = 4.

    الإجابة: 4 g/cm³

    السؤال 2: يطفو أم يغوص؟

    قطعة خشب كثافتها 0.8 g/cm³ وُضعت في الماء. هل تطفو أم تغوص؟

    1. كثافة الماء تقريباً 1 g/cm³.
    2. نقارن: 0.8 < 1، أي أن كثافة الخشب أقل من كثافة الماء.

    الإجابة: تطفو قطعة الخشب على سطح الماء.

    السؤال 3: حساب الكتلة

    قطعة من الألومنيوم حجمها 10 cm³ وكثافة الألومنيوم 2.7 g/cm³. ما كتلتها؟

    1. نعيد ترتيب القانون: m = ρ × V.
    2. التعويض: m = 2.7 × 10 = 27.

    الإجابة: 27 g

    السؤال 4: طريقة الإزاحة

    مخبار مدرج فيه 50 mL من الماء، وعند إسقاط حجر فيه ارتفع مستوى الماء إلى 65 mL. إذا كانت كتلة الحجر 120 g، فما كثافته؟

    1. حجم الحجر = الحجم بعد − الحجم قبل: 65 − 50 = 15 mL، أي 15 cm³.
    2. الكثافة: ρ = 120 / 15 = 8.

    الإجابة: 8 g/cm³، ولأنها أكبر من كثافة الماء فقد غاص الحجر.

    السؤال 5: سائل فوق الماء

    سائل لا يمتزج بالماء، كتلة 100 mL منه تساوي 90 g. هل يطفو فوق الماء أم يستقر تحته؟

    1. الكثافة: ρ = 90 / 100 = 0.9 g/mL.
    2. نقارن بكثافة الماء: 0.9 < 1.

    الإجابة: يطفو السائل فوق الماء ويكوّن طبقة علوية.

    💡 نصائح للمذاكرة

    • اكتب دائماً المعطيات ثم القانون ثم التعويض ثم الوحدة؛ فالوحدة جزء من الإجابة.
    • تأكد أن الكتلة بالجرام والحجم بالسنتيمتر المكعب أو المللتر قبل القسمة.
    • استخدم «مثلث الكثافة» للتذكر: الكتلة في الأعلى، والكثافة والحجم في الأسفل.
    • تحقق من معقولية الناتج: الجسم الذي يغوص في الماء يجب أن تكون كثافته أكبر من 1.

    أسئلة شائعة حول الدرس

    هل تتغير كثافة المادة إذا قطعناها نصفين؟

    لا، لأن الكتلة والحجم يقلان بالنسبة نفسها، فتبقى الكثافة ثابتة.

    لماذا تطفو السفن مع أنها مصنوعة من الحديد؟

    لأن شكلها المجوف المملوء بالهواء يجعل متوسط كثافة السفينة كلها أقل من كثافة الماء.

    ما العلاقة بين المللتر والسنتيمتر المكعب؟

    هما متساويان: 1 mL = 1 cm³، لذلك يمكن استخدام المخبار المدرج لقياس حجم الأجسام الصلبة بالإزاحة.

    المصدر الرسمي

    ارجع إلى الدرس نفسه في كتابك المدرسي المعتمد للطبعة الحالية، ويمكنك الاطلاع على الكتب الرسمية عبر منصة عين التابعة لوزارة التعليم. كتبي بلس منصة مستقلة غير تابعة لوزارة التعليم.

    روابط ذات صلة