المعادلة التربيعية من أهم موضوعات رياضيات المرحلة الثانوية، وتظهر كثيراً في الاختبارات وفي التطبيقات الهندسية والفيزيائية. في هذا الشرح نراجع الصورة العامة للمعادلة، وثلاث طرق لحلها، ودور المميز في معرفة عدد الحلول، ثم نحل خمسة أمثلة مع التحقق من كل إجابة.
محتويات الدرس
فكرة الدرس: ما المعادلة التربيعية؟
المعادلة التربيعية هي معادلة يمكن كتابتها على الصورة ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0. وحل المعادلة يعني إيجاد قيم x التي تجعل الطرفين متساويين.
- التحليل: نكتب المعادلة على صورة حاصل ضرب عاملين يساوي صفراً، ثم نساوي كل عامل بالصفر.
- الجذر التربيعي: مناسب عندما لا يوجد حد bx، مثل x² = 9.
- القانون العام: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a ويصلح لكل معادلة تربيعية.
- المميز: Δ = b² − 4ac؛ إذا كان موجباً فللمعادلة حلان حقيقيان، وإذا كان صفراً فلها حل واحد مكرر، وإذا كان سالباً فلا توجد حلول حقيقية.
حل الأسئلة خطوة بخطوة
الأسئلة التالية تمارين تدريبية من إعداد كتبي بلس على فكرة الدرس، وليست منسوخة من الكتاب المدرسي. حاول حل كل سؤال بنفسك قبل قراءة الخطوات.
السؤال 1: الحل بالتحليل
حل المعادلة: x² − 5x + 6 = 0.
- نبحث عن عددين حاصل ضربهما 6 ومجموعهما −5: هما −2 و −3.
- نحلل: (x − 2)(x − 3) = 0.
- نساوي كل عامل بالصفر: x = 2 أو x = 3.
- التحقق: 2² − 5(2) + 6 = 0 و 3² − 5(3) + 6 = 0.
الإجابة: x = 2 أو x = 3
السؤال 2: الحل بالجذر التربيعي
حل المعادلة: x² − 9 = 0.
- ننقل الحد الثابت: x² = 9.
- نأخذ الجذر التربيعي للطرفين مع مراعاة الإشارتين: x = ±3.
الإجابة: x = 3 أو x = −3
السؤال 3: الحل بالقانون العام
حل المعادلة: 2x² + 3x − 2 = 0.
- نحدد المعاملات: a = 2, b = 3, c = −2.
- المميز: Δ = 3² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25، و √25 = 5.
- نعوض: x = (−3 + 5) / 4 = 1/2 أو x = (−3 − 5) / 4 = −2.
- التحقق: 2(1/4) + 3(1/2) − 2 = 0 و 2(4) − 6 − 2 = 0.
الإجابة: x = 1/2 أو x = −2
السؤال 4: مميز سالب
كم حلاً حقيقياً للمعادلة x² + 4x + 5 = 0؟
- المعاملات: a = 1, b = 4, c = 5.
- المميز: Δ = 16 − 20 = −4.
- بما أن المميز سالب، فلا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب.
الإجابة: لا توجد حلول حقيقية للمعادلة.
السؤال 5: مسألة المستطيل
مستطيل مساحته 24 cm²، وطوله يزيد على عرضه بمقدار 2 cm. أوجد بعديه.
- نفرض العرض w، فيكون الطول w + 2.
- المساحة: w(w + 2) = 24، أي w² + 2w − 24 = 0.
- نحلل: (w + 6)(w − 4) = 0، فإما w = −6 (مرفوض لأن الطول لا يكون سالباً) أو w = 4.
- الطول = 4 + 2 = 6، والتحقق: 4 × 6 = 24.
الإجابة: العرض 4 cm والطول 6 cm.
💡 نصائح للمذاكرة
- رتّب المعادلة دائماً على الصورة … = 0 قبل أي طريقة حل.
- احسب المميز أولاً؛ فهو يخبرك بعدد الحلول قبل أن تبدأ.
- انتبه للإشارات عندما يكون b أو c سالباً، واكتبهما بين قوسين عند التعويض.
- تحقق من كل حل بالتعويض في المعادلة الأصلية، وارفض الحلول غير المنطقية في المسائل الحياتية.
أسئلة شائعة حول الدرس
متى أستخدم التحليل ومتى أستخدم القانون العام؟
جرّب التحليل أولاً إذا كانت المعاملات أعداداً صغيرة وسهلة، واستخدم القانون العام عندما يصعب التحليل، فهو يصلح لكل المعادلات التربيعية.
هل يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية حل واحد فقط؟
نعم، عندما يكون المميز صفراً، مثل x² − 6x + 9 = 0 التي تكتب (x − 3)² = 0 وحلها x = 3.
ماذا يعني أن المميز سالب؟
يعني أن المعادلة ليس لها حلول في الأعداد الحقيقية، وبيانياً لا يقطع منحنى الدالة محور السينات.
المصدر الرسمي
ارجع إلى الدرس نفسه في كتابك المدرسي المعتمد للطبعة الحالية، ويمكنك الاطلاع على الكتب الرسمية عبر منصة عين التابعة لوزارة التعليم. كتبي بلس منصة مستقلة غير تابعة لوزارة التعليم.